정사각형과 합동 삼각형 각

[출제의도] 피타고라스의 정리를 활용하여 평면도형의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

$\mathrm{\triangle} ABP \equiv$$\mathrm{\triangle} CBQ$이므로 $\mathrm{\angle} PBQ = \angle ABC = 90 ^\circ$이다. 또한 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \overline{BQ}$이므로 삼각형 $\mathrm{PBQ}$는 직각이등변삼각형이다. 따라서 $\mathrm{\angle} BQP = 45 ^\circ$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} : \overline{PB} : \overline{PC} = 1 : 2 : 3$이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{PA}}} = a$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} \mathit{=} 2 a$, $\displaystyle {\mathrm{\overline{PC}}} = 3 a$$( a > 0 )$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2} = \overline{PB} ^{2} + \overline{BQ} ^{2} = 8 \mathit{a} ^{2}$에서 $\displaystyle {\mathrm{\overline{PQ}}} =$$\displaystyle 2 \sqrt{2} a$이고 $\displaystyle {\mathrm{\overline{QC}}} = a$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2} + \overline{QC} ^{2} = \mathit{8} a ^{2} + a ^{2} = 9 a ^{2}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{PC} ^{2}$이 성립한다. 따라서 삼각형 $\mathrm{PQC}$는 $\mathrm{\angle} PQC = 90 ^\circ$인 직각삼각형이다. $\mathrm{\angle} APB = \angle CQB$ $\mathrm{=} \angle PQC + \angle PQB$ $\mathrm{=} 90 ^\circ + 45 ^\circ$ $= 135 ^\circ$ $\therefore \angle \mathrm{APB} + \angle PBQ = 135 ^\circ + 90 ^\circ = 225 ^\circ$