정사각형 종이접기

[출제의도] 피타고라스 정리를 이용하여 실생활 문제를 해결한다. 그림은 접은 종이를 다시 펼쳐 접힌 부분을 실선으로 나타낸 것이다.

종이가 접혀진 모양에서 $\triangle \mathrm{BPE} \equiv \triangle \mathrm{BPG}$ $\triangle \mathrm{BQG} \equiv \triangle \mathrm{BQF}$ 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$에 일치하도록 접어서 만들어진 선이 선분 $\mathrm{PQ}$이므로 선분 $\mathrm{PQ}$는 대각선 $\mathrm{AC}$의 일부이고, 정사각형의 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다. 두 삼각형 $\mathrm{BPG}$, $\mathrm{BQG}$에서 선분 $\mathrm{{BG}}$는 공통인 변이고 $\mathrm{\angle} PGB = \angle QGB = 90 ^\circ$, $\mathrm{\angle} PBG = \angle QBG = 22.5 ^\circ$이므로 $\triangle \mathrm{BPG} \equiv \triangle \mathrm{BQG}$ ($\mathrm{ASA}$합동) 따라서 $\triangle \mathrm{BPE} \equiv \triangle \mathrm{BPG}$$\equiv \triangle \mathrm{BQG} \equiv \triangle \mathrm{BQF}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{EP}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{PG}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{GQ}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{QF}}$$= x$라 하자. 점 $\mathrm{Q}$는 대각선 $\mathrm{AC}$ 위의 점이므로 $\mathrm{\angle} QCF = 45 ^\circ$ 따라서 삼각형 $\mathrm{QFC}$가 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{CQ}}$$\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{2} \times {\overline{QF}}$$\displaystyle = \sqrt{2} \mathit{x}$ 선분 $\mathrm{AC}$는 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 대각선이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 10 \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{AP}} + {\overline{PG}} + {\overline{GQ}} + {\overline{QC}}$ $\displaystyle 10 \sqrt{2} = \sqrt{2} \mathit{x} + \mathit{x} + x + \sqrt{2} \mathit{x}$ $\displaystyle \left( \sqrt{2} + 1 \right) x = 5 \sqrt{2}$ $x$$\displaystyle = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$$\displaystyle = 5 \sqrt{2} \left( \sqrt{2} - 1 \right)$$\displaystyle = 10 - 5 \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = 2 \mathit{x}$$\displaystyle = 20 - 10 \sqrt{2}$ 따라서 $a = 20$, $b = - 10$에서 $a + b = 10$