중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정다각형 각의 크기

문제

그림과 같이 정육각형 ABCDEF{\mathrm{ABCDEF}}에 대하여 변 AB{\mathrm{AB}}를 한 변으로 하는 정사각형과 변 EF{\mathrm{EF}}를 한 변으로 하는 정오각형이 있다. 이 정사각형에서 꼭짓점 A{\mathrm{A}}와 이웃한 꼭짓점 중 B{\mathrm{B}}가 아닌 점을 G{\mathrm{G}}, 이 정오각형에서 꼭짓점 F{\mathrm{F}}와 이웃한 꼭짓점 중 E{\mathrm{E}}가 아닌 점을 H{\mathrm{H}}라 하자. 두 선분 AH{\mathrm{AH}}, FG{\mathrm{FG}}가 만나는 점을 I{\mathrm{I}}라 할 때, ∠AIF=x∘\angle {\mathrm{AIF}} = x ^\circ이다. xx의 값을 구하시오. (단, 점 G{\mathrm{G}}와 점 H{\mathrm{H}}는 정육각형 ABCDEF{\mathrm{ABCDEF}}의 외부에 있다.) [4점]

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141

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해설

정사각형의 한 내각의 크기는 90∘90 ^\circ 정오각형의 한 내각의 크기는 180∘×(5−2)5=108∘\displaystyle \frac{180 ^\circ \times \left( 5 - 2 \right)}{5} = 108 ^\circ 정육각형의 한 내각의 크기는 180∘×(6−2)6=120∘\displaystyle \frac{180 ^\circ \times \left( 6 - 2 \right)}{6} = 120 ^\circ ∠FAG=360∘−90∘−120∘=150∘\angle {\mathrm{FAG}} = 360 ^\circ - 90 ^\circ - 120 ^\circ = 150 ^\circ ∠HFA=360∘−120∘−108∘=132∘\angle {\mathrm{HFA}} = 360 ^\circ - 120 ^\circ - 108 ^\circ = 132 ^\circ 주어진 정사각형과 정오각형이 각각 정육각형과 한 변을 공유하므로 주어진 정사각형, 정오각형, 정육각형의 모든 변의 길이는 같다. 그러므로 삼각형 AFG{\mathrm{AFG}}는 AF‾=AG‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = {\overline{\mathrm{AG}}}인 이등변삼각형이고, 삼각형 FHA{\mathrm{FHA}}는 FH‾=FA‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}} = {\overline{\mathrm{FA}}}인 이등변삼각형이다. 삼각형 AFG{\mathrm{AFG}}에서 ∠GFA=12×(180∘−∠FAG)=12×(180∘−150∘)=15∘\displaystyle \angle {\mathrm{GFA}} = \frac{1}{2} \times \left( 180 ^\circ - \angle {\mathrm{FAG}} \right) = \frac{1}{2} \times \left( 180 ^\circ - 150 ^\circ \right) = 15 ^\circ 삼각형 FHA{\mathrm{FHA}}에서 ∠FAH=12×(180∘−∠HFA)=12×(180∘−132∘)=24∘\displaystyle \angle {\mathrm{FAH}} = \frac{1}{2} \times \left( 180 ^\circ - \angle {\mathrm{HFA}} \right) = \frac{1}{2} \times \left( 180 ^\circ - 132 ^\circ \right) = 24 ^\circ 삼각형 IAF{\mathrm{IAF}}에서 ∠AIF\angle {\mathrm{AIF}}=180∘−∠IFA−∠FAI= 180 ^\circ - \angle {\mathrm{IFA}} - \angle {\mathrm{FAI}} =180∘−∠GFA−∠FAH= 180 ^\circ - \angle {\mathrm{GFA}} - \angle {\mathrm{FAH}} =180∘−15∘−24∘= 180 ^\circ - 15 ^\circ - 24 ^\circ =141∘= 141 ^\circ 따라서 x=141x = 141

태그

#정다각형#내각

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