공통수학2도형의 이동수능 기출기본 문제 (3점 중반)

점대칭 직선 방정식

문제

좌표평면 위의 정점 P\mathrm{P} 에 대한 두 점 A,B\mathrm{A} , B 의 대칭점은 각각 A′,B′\mathrm{A}' , B' 이고, 직선 AB\mathrm{AB} 의 방정식은 x−2y+4=0x - 2 y + 4 = 0 이라 한다. 점 A′\mathrm{A}' 의 좌표가 (3,1)( 3 , 1 ), 직선 A′B′\mathrm{A}' B' 의 방정식이 y=ax+by = ax + b 일 때, 두 상수 a,ba , b 의 곱 aba b 의 값은? [3점]

①−14\displaystyle - \frac{1}{4}②14\displaystyle \frac{1}{4}③−13\displaystyle - \frac{1}{3}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤−12\displaystyle - \frac{1}{2}

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①

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해설

[출제의도] 좌표평면에서 대칭이동의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 두 점 A′,B′\mathrm{A' , B'}은 점 P\mathrm{P}에 대한 두 점 A,B\mathrm{A} , B의 대칭점이므로 직선 A′B′\mathrm{A}' B'은 직선 AB\mathrm{A} B의 점대칭도형이다. △APB≡△A′PB′\triangle \mathrm{APB} \equiv \triangle A' PB'에서 ∠ABP=∠A′B′P\angle \mathrm{ABP} = \angle A' B' P(엇각)이므로 ⊗AB//⊗A′B′\otimes {\mathrm{AB}} / / \otimes {\mathrm{A}' B'} 따라서 직선 A′B′\mathrm{A}' B' 의 기울기는 직선 AB\mathrm{A} B의 기울기인 12\displaystyle \frac{1}{2}과 같다. 또한, 직선 A′B′\mathrm{A}' B' 은 A′(3,1)\mathrm{A}' ( 3 , 1 )을 지나므로 직선 A′B′\mathrm{A}' B'의 방정식은 y−1=12(x−3)\displaystyle y - 1 = \frac{1}{2} ( x - 3 ) ∴y=12x−12\displaystyle \therefore y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} 따라서 a=12,b=−12\displaystyle a = \frac{1}{2} , b = - \frac{1}{2}이다. ∴ ab=−14\displaystyle ab = - \frac{1}{4}

태그

#점대칭#평행한 직선

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