중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

점 P의 이동 거리

문제

한 평면에 한 변의 길이가 11인 정육각형 ABCDEF\mathrm{ABCDEF}와 점 P\mathrm{P}가 있다. 고정된 정육각형 ABCDEF\mathrm{ABCDEF}의 밖에 있는 점 P\mathrm{P}가 ∠BPF=60∘\mathrm{\angle} BPF = 60 ^\circ를 유지하면서 [그림 1]과 같은 상태에서 [그림 2]를 거쳐 [그림 3]의 상태가 되도록 이동하였다. 점 P\mathrm{P}가 움직인 거리는? (단, 직선 PB\mathrm{PB}는 정육각형의 내부를 지나지 않는다.) [4점]

[그림 1] [그림 2] [그림 3] ①π3\displaystyle \frac{\pi}{3}②512π\displaystyle \frac{5}{12} \pi③π2\displaystyle \frac{\pi}{2}④712π\displaystyle \frac{7}{12} \pi⑤23π\displaystyle \frac{2}{3} \pi

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⑤

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해설

[출제의도] 원주각의 성질을 이용하여 도형의 길이를 추측한다.

정육각형 ABCDEF\mathrm{ABCDEF}의 대각선의 교점을 O\mathrm{O}라 하면 ∠BOF=120∘\mathrm{\angle} BOF = 120 ^\circ이고, ∠BPF=60∘\mathrm{\angle} BPF = 60 ^\circ이므로 사각형 BOFP\mathrm{BOFP}의 한 쌍의 대각의 합은 180∘180 ^\circ이다. 따라서 그림과 같이 사각형 BOFP\mathrm{BOFP}는 중심이 A\mathrm{A}이고 반지름이 AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}인 원에 내접한다. 이때, [그림 1]의 상태에서 ∠BAP=60∘\mathrm{\angle} BAP = 60 ^\circ이고, [그림 3]의 상태에서 ∠PAF=60∘\mathrm{\angle} PAF = 60 ^\circ이므로 주어진 조건을 만족하는 점 P\mathrm{P}가 움직여 그려지는 호에 대한 중심각은 120∘120 ^\circ이다. 따라서 그려지는 호의 길이는 2π×1×120∘360∘=23π\displaystyle 2 \pi \times 1 \times \frac{120 ^\circ}{360 ^\circ} = \frac{2}{3} \pi [다른 풀이]

그림과 같이 점 P\mathrm{P}가 움직인 경로는 정육각형의 한 꼭짓점 A\mathrm{A}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 11인 원의 일부가 된다. 이때 정육각형의 한 내각의 크기가120∘120 ^\circ이므로 그려지는 호의 길이는 2π×1×120∘360∘=23π\displaystyle 2 \pi \times 1 \times \frac{120 ^\circ}{360 ^\circ} = \frac{2}{3} \pi

태그

#원주각#호의 길이

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