자료의 분산

[출제의도] 대푯값을 이해하여 자료를 추측하고 자료의 분산을 구한다. 조건 (가)에서 가장 작은 수는 $7$이고, 가장 큰 수는 $14$이므로 $5$개의 수를 $7$, $a$, $b$, $c$, $14$라 하자. 조건 (나)에서 최빈값이 $8$이므로 $a$, $b$, $c$ 중에서 적어도 $2$개의 값은 $8$이 되어야 한다. ⅰ) $a = b = c = 8$일 때 $5$개의 수는 $7$, $8$, $8$, $8$, $14$이고, 이 자료의 평균은 $\displaystyle \frac{7 + 8 + 8 + 8 + 14}{5} = 9$ 가 되어 조건에 맞지 않는다. ⅱ) $a = 8$, $b = 8$일 때 $5$개의 수는 $7$, $8$, $8$, $c$, $14$이고, 이 자료의 평균은 $10$이므로 $\displaystyle \frac{7 + 8 + 8 + c + 14}{5} = 10$ $\displaystyle \frac{37 + c}{5} = 10$, $c = 13$ ⅰ), ⅱ)에 의하여 주어진 조건을 만족시키는 자료의 값은 $7$, $8$, $8$, $13$, $14$ 이고, 각각의 편차는 $- 3$, $- 2$, $- 2$, $3$, $4$ 이다. 분산은 편차의 제곱의 평균이므로 $\displaystyle d = \frac{\left( - 3 \right) ^{2} + \left( - 2 \right) ^{2} + \left( - 2 \right) ^{2} + 3 ^{2} + 4 ^{2}}{5}$$\displaystyle = \frac{42}{5}$ 따라서 $20 d$$\displaystyle = 20 \times \frac{42}{5}$$= 4 \times 42$$= 168$