활꼴의 넓이

[출제의도] 삼각비와 원의 성질을 이용하여 도형의 넓이를 구한다.

조건 (가)에서 선분 $\mathrm{AC}$는 원의 지름이므로 원주각의 성질에 의하여 $\mathrm{\angle} ABC = 90 ^\circ$ 따라서 $\mathrm{\angle} CAB$$\mathrm{=} 90 ^\circ - \angle ACB$ $= 90 ^\circ - 60 ^\circ = 30 ^\circ$ 원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하자. 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 원의 성질에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times {\overline{AB}} = \sqrt{6}$ 직각삼각형 $\mathrm{OAH}$에서 $\displaystyle \cos 30 ^\circ = \frac{\mathrm{\overline{AH}}}{{\overline{\mathrm{OA}}}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}}$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{AH}}}}{\cos 30 ^\circ}$$\displaystyle = \sqrt{6} \times \frac{2}{\sqrt{3}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2}$ 따라서 원의 반지름의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$이므로 구하는 넓이는 반지름의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$, 중심각의 크기가 $120 ^\circ$인 부채꼴의 넓이에서 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이를 빼면 된다. 반지름의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$, 중심각의 크기가 $120 ^\circ$인 부채꼴의 넓이는 $\displaystyle \pi \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2} \times \frac{120}{360} = \frac{8}{3} \pi$ 직각삼각형 $\mathrm{AHO}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AH}}} \tan 30 ^\circ$$\displaystyle = \sqrt{6} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{2}$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AB}} \times {\overline{OH}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{6} \times \sqrt{2}$$\displaystyle = 2 \sqrt{3}$ 따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \frac{8}{3} \pi - 2 \sqrt{3}$ [다른 풀이]

원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하자. 선분 $\mathrm{AC}$는 원의 지름이므로 선분 $\mathrm{AC}$의 중점은 원의 중심 $\mathrm{O}$이다. 또 $\angle {\mathrm{A} BC}$는 지름의 원주각이므로 $\angle {\mathrm{A} BC} = 90 ^\circ$ 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\sin} 60 ^\circ = \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$에 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2 \sqrt{6}$을 대입하면 $\displaystyle \frac{\mathrm{\sqrt{3}}}{2} = \frac{2 \sqrt{6}}{\overline{AC}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 4 \sqrt{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{O} A} = \overline{\mathrm{O} B} = 2 \sqrt{2}$ 삼각형 $\mathrm{OBC}$가 정삼각형이므로 $\angle \mathrm{BOC} = 60 ^\circ$에서 $\angle {\mathrm{A} OB} = 120 ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{O} AB$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{O} A} \times \overline{\mathrm{O} B} \times \sin ( 180 ^\circ - 120 ^\circ )$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{3}$ 한편, 반지름의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$, 중심각의 크기가 $120 ^\circ$인 부채꼴의 넓이는 $\displaystyle \pi \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2} \times \frac{120}{360} = \frac{8}{3} \pi$ 따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \frac{8}{3} \pi - 2 \sqrt{3}$