중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

회전체의 부피

문제

그림과 같이 △ABC\triangle A \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}와 △DCE\triangle \mathrm{D} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{E}}에 대하여 세 점 B{\mathrm{B}}, C{\mathrm{C}}, E{\mathrm{E}}는 모두 직선 ll위에 있다. BC‾=3\displaystyle {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}}} = 3, CE‾=6\displaystyle {\overline{{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{E}}}} = 6이고 △ABC∽△DCE\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\backsim} \triangle {\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{E}}이다. 점 AA에서 직선 ll까지의 거리가 22일 때, 두 삼각형을 직선 ll을 회전축으로 하여 11회전시킨 입체도형의 부피는? [4점]

①18π1 8 \pi②27π2 7 \pi③36π3 6 \pi④45π4 5 \pi⑤54π5 4 \pi

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③

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해설

[출제의도] 닮음비를 이용하여 회전체의 부피를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 두 삼각형의 닮음비가 1:21 : 2이므로 부피의 비는 1:231 : 2 ^{3}이다. 삼각형 ABC{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}를 11회전한 입체도형의 부피는 13×4π×3=4π\displaystyle \frac{1}{3} \times 4 \pi \times 3 = 4 \pi이고 삼각형 DCE{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{E}}를 11회전한 입체도형의 부피는 4π4 \pi의 88배로 32π32 \pi이다. 그러므로 구하는 입체도형의 부피는 V=4π+32π=36πV = 4 \pi + 3 2 \pi = 3 6 \pi이다.

태그

#회전체#닮음비

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