중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

회전체 단면 넓이

문제

그림과 같이 삼각형 ABC\mathrm{A} BC의 꼭짓점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}에서 직선 ll에 내린 수선의 발을 각각 D\mathrm{D}, E\mathrm{E}, F\mathrm{F}라 할 때, AD‾=CF‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{A} D} = \overline{\mathrm{C} F} = 4, BE‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{B} E} = 6이다. 삼각형 ABC\mathrm{A} BC를 직선 ll을 회전축으로 하여 11회전시킬 때 생기는 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이의 최댓값은? [3점]

①14π14 \pi②16π16 \pi③18π18 \pi④20π20 \pi⑤22π22 \pi

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④

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해설

[출제의도] 회전체의 모양을 추측하여 조건을 만족시키는 값을 구한다. 오각형 FDABC\mathrm{FDABC}를 직선 ll을 회전축으로 하여 11회전시킬 때 생기는 회전체는 [그림 11]과 같다.

[그림 11] 사각형 FDAC\mathrm{FDAC}를 직선 ll을 회전축으로 하여 11회전 시킬 때 생기는 회전체는 [그림 22]와 같이 밑면의 반지름의 길이가 44인 원기둥이다.

[그림 22] 삼각형 ABC\mathrm{ABC}를 직선 ll을 회전축으로 하여 11회전시킬 때 생기는 회전체는 [그림 11]의 입체도형에서 [그림 22]의 원기둥을 제외시킨 입체도형으로 [그림 33]과 같다.

[그림 33] 이를 회전축 ll에 수직인 평면으로 자른 단면은 [그림 44]와 같다.

[그림 44] [그림 44]의 안쪽 원의 반지름의 길이는 44이며 넓이는 16π16 \pi이다. 한편 BE‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{B} E} = 6이므로 바깥쪽 원의 반지름의 길이는 44보다 크고 66보다 작거나 같다. 그러므로 바깥쪽 원의 넓이의 최댓값은 반지름의 길이가 66일 때 36π36 \pi이다. 따라서 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이의 최댓값은 36π−16π=20π36 \pi - 16 \pi = 20 \pi

태그

#회전체#단면

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