합과 차의 비 순서쌍

[출제의도] 식의 계산을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. (ⅰ) $a > b$일 때 $( a + b ) : ( a - b ) = 7 : 2$이므로 $7 a - 7 b = 2 a + 2 b$, $5 a = 9 b$ 따라서 $a : b = 9 : 5$이므로 구하는 순서쌍은 $( 9 , 5 )$, $( 18 , 10 )$, $( 27 , 15 )$, $\cdots$, $( 99 , 55 )$의 $11$개이다. (ⅱ) $a < b$일 때 같은 방법으로 순서쌍을 구하면 $( 5 , 9 )$, $( 10 , 18 )$, $( 15 , 27 )$, $\cdots$, $( 55 , 99 )$의 $11$개이다. (ⅲ) $a = b$일 때 주어진 조건을 만족하는 자연수가 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 순서쌍의 개수는 $22$이다. [다른풀이] 큰 수를 $a$, 작은 수를 $b$라 하면 자연수 $k$에 대하여 $a + b = 7 k$, $a - b = 2 k$라 할 수 있다. 연립방정식 $\displaystyle \begin{cases} a + b = 7 k \\ a - b = 2 k \end{cases}$를 풀면 $\displaystyle a = \frac{9}{2} k$, $\displaystyle b = \frac{5}{2} k$ ∴$\displaystyle a : b = \frac{9}{2} k : \frac{5}{2} k = 9 : 5$