근호가 자연수인 조건

[출제의도] 제곱근의 값을 이용하여 자연수의 개수 구하는 문제를 해결한다. $f ( n ) = 2$는 $\displaystyle \sqrt{na}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$가 $2$라는 의미이다. 즉, $\displaystyle \sqrt{2 n}$이 자연수가 되어야 하므로 $2 n$은 어떤 자연수의 제곱이다. 그러므로 $n$은 $2 k ^{2}$($k$는 자연수)로 나타내어지는 수이다. $k = 1$, $2$, $3$, … 을 대입하여 $300$ 이하의 자연수 $n$을 구하면 다음과 같다. $2 = 2 \times 1 ^{2}$ $8 = 2 \times 2 ^{2}$ $18 = 2 \times 3 ^{2}$ $\vdots$ $242 = 2 \times 11 ^{2}$ $288 = 2 \times 12 ^{2}$ 따라서 자연수 $n$의 개수는 $12$ [다른 풀이] $f ( n ) = 2$는 $\displaystyle \sqrt{na}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$가 $2$라는 의미이다. 즉, $\displaystyle \sqrt{2 n}$이 자연수가 되어야 하므로 $2 n$은 어떤 자연수의 제곱이다. $n$은 $2 k ^{2}$($k$는 자연수)로 나타내어지는 수이고 $300$ 이하의 자연수이므로 $k ^{2}$은 $150$ 이하의 자연수이다. $12 ^{2} = 144$, $13 ^{2} = 169$이므로 $k ^{2}$이 $150$ 이하의 자연수가 되는 $k$는 $1$, $2$, $3$, $\cdots$, $11$, $12$ 그러므로 $f \left( n \right) = 2$인 $300$ 이하의 자연수 $n$은 $2$, $8$, $18$, $\cdots$, $242$, $288$ 따라서 $12$개