중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

각의 이등분선과 대각선

문제

AB‾=5\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 5, AD‾=12\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 12인 직사각형 ABCD\mathrm{ABCD}에 대하여 ∠DAB\angle \mathrm{DAB}의 이등분선과 ∠BCD\angle \mathrm{BCD}의 이등분선이 대각선 BD\mathrm{BD}와 만나는 점을 각각 P,Q\mathrm{P} , Q라 할 때, 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이는 ba\displaystyle \frac{b}{a}이다. a+ba + b의 값은? (단, aa와 bb는 서로소인 자연수이다.) [4점]

①105105②106106③107107④108108⑤109109

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④

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해설

[출제의도] 닮음비를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 삼각형 ABD\mathrm{ABD}가 직각삼각형이므로 BD‾=13\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = 13 선분 AP\mathrm{AP}가 ∠DAB\mathrm{\angle} DAB의 이등분선이므로 BA‾:AD‾=BP‾:PD‾=5:12\displaystyle \mathrm{\overline{BA}} : \overline{AD} = \overline{BP} : \overline{PD} = 5 : 12 따라서 BP‾=13×517=6517\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = 13 \times \frac{5}{17} = \frac{65}{17} 같은 방법으로 삼각형 BCD\mathrm{BCD}에서 DQ‾=6517\displaystyle \mathrm{\overline{DQ}} = \frac{65}{17} PQ‾=13−2×6517=9117\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = 13 - 2 \times \frac{65}{17} = \frac{91}{17} ∴a+b=108\therefore a + b = 108

태그

#각의 이등분선#비례

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