각 조건 영역 넓이

[출제의도] 원주각의 성질을 이용하여 영역의 넓이 구하는 문제를 해결한다. 직선 $\mathrm{AB}$의 아래쪽에 점 $\mathrm{P}$가 있다고 가정하자. $\angle \mathrm{APB} = 90 ^\circ$인 점은 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고, 반지름의 길이가 $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{AO}}} = \frac{1}{2} {\overline{AB}} = 2$인 원 위의 점이다. $\angle \mathrm{APB} = 45 ^\circ$인 점은 선분 $\mathrm{AB}$를 현으로 하고, 중심각이 $\angle \mathrm{AO}' B = 90 ^\circ$인 원 위의 점이다. 이 원의 중심 $\mathrm{O}'$은 현 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 위에 있으므로 현 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선과 원 $\mathrm{O}$의 교점이 된다. 삼각형 $\mathrm{AO}' B$가 $\angle \mathrm{AO}' B = 90 ^\circ$이고, 선분 $\mathrm{AB}$가 빗변인 직각이등변삼각형이므로 원 $\mathrm{O}'$의 반지름의 길이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AO}'}} = {\overline{\mathrm{BO}'}} = 2 \sqrt{2}$

[그림 1]

직선 $\mathrm{AB}$의 아래쪽에 있는 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 영역은 [그림 1]의 어두운 부분과 같고, 그 넓이는 (반지름이 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AO}'}}$이고 중심각이 $\angle \mathrm{AO}' B = 270 ^\circ$인 부채꼴의 넓이)에서 (현 $\mathrm{O}' B$와 호 $\mathrm{O}' B$로 이루어진 활꼴과 현 $\mathrm{O}' A$와 호 $\mathrm{O}' A$로 이루어진 활꼴의 넓이의 합)을 뺀 값이다. ⅰ) 반지름이 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AO}'}}$이고, 중심각이 $\angle \mathrm{AO}' B = 270 ^\circ$인 부채꼴의 넓이는 $\displaystyle \pi \times \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2} \times \frac{270 ^\circ}{360 ^\circ}$$= 6 \pi$ ⅱ) 현 $\mathrm{O}' B$와 호 $\mathrm{O}' B$로 이루어진 활꼴과 현 $\mathrm{O}' A$와 호 $\mathrm{O}' A$로 이루어진 활꼴의 넓이의 합은 원 $\mathrm{O}$의 반원에서 삼각형 $\mathrm{AO}' B$의 넓이를 뺀 값이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \pi \times 2 ^{2} - \frac{1}{2} \times ( 2 \sqrt{2} ) ^{2} = 2 \pi - 4$ ⅰ), ⅱ)에 의하여 직선 $\mathrm{AB}$의 아래쪽에 있는 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 영역의 넓이는 $6 \pi - ( 2 \pi - 4 ) = 4 \pi + 4$ 직선 $\mathrm{AB}$의 위쪽에 점 $\mathrm{P}$가 있을 때도 마찬가지의 방법으로 계산할 수 있으므로 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 영역은 [그림 2]의 어두운 부분과 같고, 그 넓이는 $2 \left( 4 \pi + 4 \right) = 8 \pi + 8$이다. 따라서 $a = 8$, $b = 8$이므로 $ab = 64$

[그림 2]