두 포물선과 정사각형

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하고, 이차방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 이차함수 $\displaystyle y = \frac{1}{3} x ^{2}$, $y = x ^{2}$에 $x = a$를 대입하면, $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( a , \frac{1}{3} a ^{2} \right) , {\mathrm{Q}} ( a , a ^{2} )$이다. $\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{PQ}} \mathit{=} a ^{2} - \frac{1}{3} a ^{2} = \frac{2}{3} a ^{2}$ 두 이차함수의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \mathrm{S} \mathit{\left( - a , \frac{1}{3} a ^{2} \right)}$이다. $\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{PS}} \mathit{=} 2 a$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \overline{PS}$이므로 $\displaystyle \frac{2}{3} a ^{2} = 2 a$ $a ^{2} - 3 a = 0$ $\therefore a = 3$ 또는 $a = 0$ $a > 0$이므로 $a = 3$ 따라서 정사각형 $\mathrm{PQRS}$의 한 변의 길이는 $2 a = 6$ 이므로 정사각형의 넓이는 $6 ^{2} = 36$이다.