중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 포물선 정사각형 조건

문제

그림과 같이 두 이차함수 $y = a x ^{2} - b$ , $y = - a x ^{2} + b$ 의 그래프가 좌표축과 만나는 점을 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 라 하자. 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 정사각형일 때, 다음 중 항상 옳은 것은? (단, $a$ , $b$ 는 양수이다.) [4점]

① $a b = 1$ ② $a - b = 0$ ③ $a + b = 1$ ④ $a + b = 2$ ⑤ $a ^{2} + b ^{2} = 2$

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①

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해설

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다. 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 정사각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{O} D}$ 이다. 점 $\mathrm{A}$ 의 좌표는 $( 0 , b )$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = b$ $y = ax ^{2} - b$ 에 $y = 0$ 을 대입하면 $ax ^{2} - b = 0$ 에서 $\displaystyle x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}$ 이므로 점 $\mathrm{D}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left( \sqrt{\frac{b}{a}} , 0 \right)$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{O} D}$ 에서 $\displaystyle b = \sqrt{\frac{b}{a}}$ 양변을 제곱하면 $\displaystyle b ^{2} = \frac{b}{a}$ , $ab ^{2} - b = 0$ $b ( ab - 1 ) = 0$ $b \ne 0$ 이므로 $ab = 1$

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