두 정육각형 넓이

정육각형의 한 내각의 크기는 $\displaystyle \frac{180 ^\circ \times \left( 6 - 2 \right)}{6} = 120 ^\circ$ 삼각형 ${\mathrm{AEF}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = {\overline{\mathrm{EF}}} = 1$인 이등변삼각형이고 $\angle {\mathrm{AFE}} = 120 ^\circ$이므로 $\displaystyle \angle {\mathrm{EAF}} = \frac{1}{2} \times \left( 180 ^\circ - 120 ^\circ \right) = 30 ^\circ$ $\angle {\mathrm{BAF}}$$= \angle {\mathrm{BAG}} + \angle {\mathrm{GAE}} + \angle {\mathrm{EAF}}$ $= 45 ^\circ + \angle {\mathrm{GAE}} + 30 ^\circ = 120 ^\circ$ $\angle {\mathrm{GAE}} = 45 ^\circ$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = {\overline{\mathrm{EF}}} = 1$인 이등변삼각형 ${\mathrm{AEF}}$에 대하여 점 ${\mathrm{F}}$에서 선분 ${\mathrm{AE}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{L}}$이라 하면 삼각형 ${\mathrm{ALF}}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AL}}} = {\overline{\mathrm{AF}}} \times \cos 30 ^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = 2 \times {\overline{\mathrm{AL}}} = \sqrt{3}$ $\triangle {\mathrm{AEF}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AF}}} \times {\overline{\mathrm{AE}}} \times \sin 30 ^\circ$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ $\triangle {\mathrm{A G {E}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AE}}} \times {\overline{\mathrm{AG}}} \times \sin 45 ^\circ$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$ 따라서 $\displaystyle \square {\mathrm{A G {E}} {\mathrm{F}} = \triangle {\mathrm{AEF}} + \triangle {\mathrm{A G {E}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{4}}}$