중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

도수분포표 분산

문제

어느 동아리 학생 $10$ 명의 봉사 활동 시간을 조사하여 나타낸 도수분포표가 다음과 같다. 봉사 활동 시간의 평균이 $16$ 시간일 때, 분산을 $a$ 라 하자. $10 a$ 의 값을 구하시오. [3점]

봉사 활동 시간(시간)	도수(명)
$11 ^{\text{이상}}$ $\sim$ $13 ^{\text{미만}}$	$1$
$13$ $\sim$ $15$	1
$15$ $\sim$ $17$	5
$17$ $\sim$ $19$	3
합계	$10$

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해설

[출제의도] 도수분포표를 이해하여 주어진 자료의 분산을 구한다. 도수분포표에서 $\displaystyle \frac{( \text{분산} ) = \mathrm{{\left\{ ( \text{편차} ) ^{2} \times ( \text{도수} ) \right\} \text{의} \text{총합}}}}{( \text{도수} ) \text{의} \text{총합}}$ 봉사 활동 시간의 평균이 16시간이므로 각각의 봉사 활동 시간에 따른 각 계급의 계급값, 편차, $\mathrm{(} \text{편차} ) ^{2}$ , 도수는 표와 같다.

봉사 활동 시간(시간)	계급값	편차	$\mathrm{(} \text{편차} ) ^{2}$	도수(명)
$11 ^{\text{이상}}$ $\sim$ $13 ^{\text{미만}}$	$12$	$- 4$	$16$	$1$
$13$ $\sim$ $15$	$14$	$- 2$	$4$	$1$
$15$ $\sim$ $17$	$16$	$0$	$0$	$5$
$17$ $\sim$ $19$	$18$	$2$	$4$	$3$
합계				$10$

분산을 구하면 $\displaystyle \frac{16 \times 1 + 4 \times 1 + 0 \times 5 + 4 \times 3}{10} = 3.2$ 이므로 $a = 3.2$ 따라서 $10 a = 32$ [참고] 도수분포표에서 $\displaystyle ( \text{평균} ) = \frac{\mathrm{\left\{ ( \text{계급값} ) \times ( \text{도수} ) \right\}} \text{의} \text{총합}}{( \text{도수} ) \text{의} \text{총합}}$ 문제에서 주어진 도수분포표를 이용하여 봉사 활동 시간의 평균을 구하면 $\displaystyle \frac{12 \times 1 + 14 \times 1 + 16 \times 5 + 18 \times 3}{10} = 16$

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