달팽이 명령어 도형 넓이

[출제의도] 주어진 명령어를 이해하고 조건에 의해 만들어지는 평면도형의 넓이를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 명령어 RE $3$(GO $6$ ; TU $120$)으로 만들어진 삼각형은 한 변의 길이가 $6$$\mathrm{cm}$인 정삼각형이다. (정삼각형의 넓이)=$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6 ^{2} = 9 \sqrt{3} ( \mathrm{cm} ^{2} )$ 명령어 RE $6$(GO $a$ ; TU $b$)으로 만들어진 육각형은 한 변의 길이가 $a$$\mathrm{cm}$인 정육각형이다. 한 변의 길이가 $a$$\mathrm{cm}$인 정육각형의 넓이는 한 변의 길이가 $a$$\mathrm{cm}$인 정삼각형 $6$개의 넓이와 같으므로 (정육각형의 넓이)=$\displaystyle 6 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \times a ^{2} \right) = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a ^{2} ( \mathrm{cm} ^{2} )$ 두 도형의 넓이가 같으므로 $\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2} a ^{2} = 9 \sqrt{3}$ ∴ $a ^{2} = 6$ 정육각형의 한 외각의 크기는 $\displaystyle \frac{360 ^\circ}{6} = 60 ^\circ$에서 $b = 60$이다. ∴ $a ^{2} + b = 6 + 60 = 66$

[다른 풀이] 주어진 도형은 각각 정삼각형과 정육각형이다. 정육각형은 정삼각형 $6$개로 나누어지므로 한 변의 길이가 $a$$\mathrm{cm}$인 정삼각형의 넓이를 $\mathrm{S}$라 하면, (정육각형의 넓이)$\mathrm{=} 6 S$ (한 변의 길이가 $6$$\mathrm{cm}$인 정삼각형의 넓이)$\mathrm{=} 6 S$ 두 정삼각형의 넓이의 비는 $6 : 1$ 닮음비는 $\displaystyle \sqrt{6} : 1$이므로 $\displaystyle \sqrt{6} : 1 = 6 : a$ ∴ $\displaystyle a = \sqrt{6}$

정육각형의 한 외각의 크기는 $\displaystyle \frac{360 ^\circ}{6} = 60 ^\circ$에서 $b = 60$이다. ∴ $a ^{2} + b = 6 + 60 = 66$